Monest.NET | Hoeveel mag ik kopen?

Hoeveel mag ik kopen?

Gepubliceerd in: Technische en Kwantitatieve Analyse (Juni, 2008)
Auteur: Dirk Vandycke

Enkele position sizing algoritmen op een rijtje.

We staan in dit artikel stil bij wat wellicht het meest verwaarloosde aspect van beleggen en traden is. Niet alleen lichten we enkele modellen toe die ons de grootte van een positie helpen bepalen bij de aanvang ervan, maar we gaan ook dieper in op het hoe en waarom van dit alles en het nut dat ‘position sizing’ voor de individuele belegger heeft.

Mag het iets meer zijn?

Beleggen is eenvoudig … maar niet makkelijk. We hebben slechts drie vrijheidsgraden bij het kopen en verkopen, met name wat we kopen, wanneer we dit doen en hoeveel kapitaal we daar dan aan besteden. Meestal herleidt het antwoord op de tweede vraag zich dan gewoon tot het moment waarop men de andere twee vragen beantwoord. Zowat alle systemen, indicatoren, technieken, modellen en analysemethoden richten zich voornamelijk (of zelfs alleen) op wat te kopen en wanneer dit te doen. De tak van de psychologie die zich over het gedrag van beleggers buigt, met name de ‘behavioural finance’, vertelt ons dat mensen zich vooral (en misschien te veel?) focussen op wat te verhandelen en wanneer omdat ze hierdoor een vals gevoel krijgen van controle. De term die deze lading dekt is ‘illusion of control’ of ‘lottery bias’. Het is immers ook deze bias die er voor zorgt dat mensen geboortedatums hanteren bij het invullen van hun lottoformulier omdat ze zo een gevoel van controle hebben. Controle over het invullen weliswaar, niet over de resultaten helaas. Dit valse gevoel van controle lijkt voor veel mensen een beter aanvaardbaar alternatief dan de angst om beslissingen te moeten nemen in onzekerheid.

De bepaling hoeveel er moet worden gekocht voor een bepaalde positie, we spreken van ‘position sizing’(*), wordt vaak als weinig relevant beschouwd en bijna altijd als ondergeschikt aan de selectiestrategie (wat en wanneer). Dat ‘position sizing’ echter een grote, indien al niet een doorslaggevende, rol speelt in het eindresultaat van een strategie tonen we aan met volgend voorbeeld.

Nemen we een systeem met een positieve winstverwachting, bijvoorbeeld het opgooien van een muntstuk waarbij je, bij het gooien van kop, het dubbel ontvangt van wat je hebt ingezet. Landt het stuk op munt, dan ben je wat je hebt ingezet kwijt. Van dit spel weten we, dankzij kansrekening, dat we er alle belang bij hebben het spel zo lang mogelijk te spelen. We verdienen immers gemiddeld 0,5 euro per euro die we hebben ingezet. Dit resultaat wordt ons aangereikt door de formule voor winstverwachting:

tka200906_1

Hierbij is P(win) de kans op winst en P(loss)= 1 – P(win) de kans op verlies (beide zijn 0,5 of 50% in dit geval). Wavg en Lavg zijn respectievelijk de gemiddelde winst bij een winnaar en het gemiddelde verlies bij een verliezer. Voor ons muntstuk experiment wordt dit dus 0,5×2-0,5×1 = 0,5 als we telkens 1 euro inzetten. Als we dit systeem lang genoeg toepassen dan zal onze winst dus gemiddeld 0,5 euro per spelbeurt bedragen.

Position sizing , dan, probeert een antwoord te geven op de vraag hoeveel we moeten inzetten. Het mag duidelijk zijn dat als je telkens alles inzet, het gewoon wachten is op de eerste munt vooraleer je alles verliest. Daartoe heb je telkens (bij elke worp) de helft kans. Ook al heb je dus met een winstgevend systeem, het is praktisch een mathematische zekerheid dat je alles verliest als je telkens alles inzet (tenzij je oneindig kop zou blijven gooien). Verdeel je echter je kapitaal na elke winnende worp opnieuw in 10 gelijke delen die je vervolgens na elkaar inzet, dan moet je al 10 maal na elkaar munt gooien vooraleer je alles kwijt bent. Gezien (bij dit experiment althans) de resultaten onafhankelijk zijn van elkaar heb je daartoe een kans van 0,510 = 0,000977 of afgerond 0,1%. Verdeel je het kapitaal in 100 gelijke delen na elke winnende worp, dan zou het je al moeten lukken om 100 maal na elkaar munt te gooien vooraleer je alles kwijt zou zijn, wat hier een kans heeft van maar 0,5100 (dat zijn maar liefst 30 nullen na de komma – zo goed als onmogelijk dus). Dit toont duidelijk aan dat, ongeacht het winnend karakter van dit systeem, het eindresultaat sterk afhankelijk wordt van hoeveel je telkens inzet. Of eenvoudigweg dat de keuze van de positiegrootte sterk bepalend is voor het uiteindelijk rendement dat we met een gegeven systeem behalen, ongeacht het effectieve verloop van dat systeem.

Vaak deelt men de verschillende manieren om positiegrootte te bepalen in twee families in. De Martingale strategieën verhogen de inzet na verlies om zo steeds agressiever hun verliezen te proberen recupereren. De Anti-Martingale strategieën doen net het omgekeerde: inzet verlagen na verlies, wat een systeem afremt bij verliezen. De Martingale strategieën komen vaker wel dan niet neer op het uitmiddelen of opstapelen van verliezen, het selecteren van steeds risicovollere aandelen en grotere posities daarin. En zoals je weet: ‘losers average losers’. Ze hebben dan ook enkele nefaste nadelen. Om er de belangrijkste van te noemen: het feit dat we met een eindig kapitaal geconfronteerd worden geeft, in combinatie met exponentieel oplopende verliezen een explosieve cocktail. En dan hebben we het nog niet eens over de mentale nadelen van zo’n systemen. We overlopen in de rest van dit artikel enkele methodes, allemaal Anti-Martingale systemen, voor het afstemmen van de positiegrootte op diverse zaken waar wij als belegger belang aan hechten zoals volatiliteit, risico en rendement. We beperken ons hierbij tot het werken zonder margin. We laten de mogelijkheid om je kapitaal te hefbomen dan ook buiten beschouwing in dit artikel.

(*) Position sizing is mijns inziens een betere benaming dan money management, dat te veel de nadruk legt op het beheren van andermans geld.

Fixed Units Model

Bij dit model wordt de grootte van de positie bepaald door een gehele deling van de totale waarde van de portefeuille (of de cash) door een vast bedrag. Men koopt dan per keer dat dit vast bedrag volledig in de waarde van de portefeuille gaat een vastgelegd aantal eenheden. Een voorbeeld maakt dit meteen duidelijk. Als je een portefeuille hebt die 100.000 waard zou zijn dan zegt dit model ons een vast aantal aandelen te kopen, bijvoorbeeld 100 stuks, voor iedere blok van een vooraf vastgelegde grootte, bijvoorbeeld 20.000, die onze portefeuille waard is. Concreet betekent dit met onze voorbeeldgetallen dat je 5 blokken van 20,000 aan waarde hebt in een portefeuille die 100,000 waard is. Dit aantal wordt naar beneden afgerond (daarom noemt men dit een gehele deling). Hierdoor mag je dus 5 keer 100, zijnde 500, aandelen aankopen. We hebben dus 2 parameters die in dit model een rol spelen: de grootte van elke blok (in het voorbeeld 20.000) waarvoor we een vast aantal aandelen mogen aanschaffen en meteen ook hoeveel dat vast aantal aandelen dan is (in het voorbeeld 100 stuks).

Hoewel dit model nogal vaak eens door handelaars in futures wordt gebruikt kent het enkele opvallende nadelen. Vooreerst is het niet afgestemd op het risico of de volatiliteit van de onderliggende waarde van de positie in kwestie. Bepaalde aandelen of contracten houden beduidend meer risico en/of volatiliteit in dan andere. Bovendien houdt het ook geen rekening met de absolute waarde van een aandeel. Als dit model zegt dat je 500 aandelen mag aanschaffen en die kosten 250 per stuk dan zit je met een totale waarde van 125.000, dit is meer dan gans onze voorbeeldportefeuille waard is. Tevens zal men van een aandeel dat 1 kost in vergelijking met een aandeel dat 100 kost door ditzelfde model in beide gevallen 500 stuks mogen aanschaffen. Het aandeel dat 1 kost vertegenwoordigt dan maar een totale waarde van 500 (dat is 0.5% van gans de portefeuille), terwijl het aandeel dat 100 kost een hap van 50000 uit je portefeuille neem (of dus 50%). Een laatste probleem met dit systemen is dat het zeer slecht schaalt. In het geval van ons voorbeeld moet de portefeuille al 20.000 (of 20%) in waarde stijgen eer men posities mag vergroten. Omgekeerd remt het systeem ons ook te traag af. Je bent telkens 20000 kwijt vooraleer dergelijk systeem zegt om minder aandelen in één positie op te nemen. Gezien dergelijk model weinig voordelen heeft vermelden we het hier in hoofdzaak omwille van volledigheid en als voorbereiding op en ter vergelijking met de andere systemen.

Percent Investment Model

Als er al een strategie achter de bepaling van positiegrootte zit dan is dit meestal volgens dit model. Het stamt af van de redenering je portefeuille in een aantal gelijke stukken te verdelen. Dergelijke strategie werd toegepast in het muntstuk experiment in de inleiding met als belangrijkste nadeel dat het niet remmend werkt op de verliezen als je die verdeling telkens maar doet na een winnaar (dat was echter wenselijk voor de eenvoud van dat voorbeeld in die context). Deze strategie gaat een stap verder en zal de portefeuille - we nemen opnieuw een waarde van 100000 om ons te oriënteren - bij elke nieuwe positie in een aantal gelijke stukken op gaan delen die dan aan één positie mogen worden toegekend. Verdeel je aldus je portefeuille telkens opnieuw in n gelijke stukken dan komt dit neer op een investering van (100/n)% van je portefeuille die je investeert. Verdeel je de middelen die je hebt bijvoorbeeld in 25 gelijke delen (n is dan 25) dan komt elke investering initieel neer op een toewijzing van 4% (zijnde 100/25). Dit is meteen het populairste position sizing model. Je neemt gewoonweg x% van de middelen die je hebt (of van de totale waarde van je portefeuille). Een voordeel van dergelijk systeem is alvast dat het, als een echte anti-Martingale strategie, zelfremmend werkt als je kapitaal slinkt en gas geeft in de andere richting. Als de waarde van je portefeuille afneemt zal dit systeem, met andere woorden, procentueel misschien wel een onveranderde grootte nemen maar die zal bij een lager waarde van de portefeuille in absolute cijfers een kleinere investering worden. Op een portefeuille van 100000 is 4% net 4000 maar als de waarde van die portefeuille daalt naar, laat ons zeggen, 80000, dan is diezelfde 4% nog maar 3200. Nadeel is nog steeds dat er geen rekening wordt gehouden met volatiliteit en risico bij het bepalen van de positiegrootte. Een praktisch nadeel is ook dat je mogelijks met zogenaamde ‘odd lots’(*) komt te zitten. Afhankelijk van de getallen kun je, door het fractioneel karakter van dit systeem, bijvoorbeeld 1354 aandelen als resultaat krijgen. Zoiets was vroeger een groter probleem dan tegenwoordig en kan natuurlijk makkelijk worden verholpen door het berekende aantal af te ronden naar de tientallen of honderdtallen. Je maakt er dan in het voorbeeld gewoon 1300 of 1350 stuks van. Ogenschijnlijk is dit onschuldiger dan het lijkt, want als je met margin werkt of met hefboomproducten of zelfs met zeer dure aandelen (neem een aandeel van 500 per stuk), dan kun je makkelijk kleinere aantallen hebben waardoor afronden wel een substantieel verschil in de investering maakt. Als een afronding dan 10 aandelen meer of minder betekent is dit wel een verschil in investering van 500×10 of 5000 (of 5% meer of minder op een portefeuille van 100000).

(*) Odd in het Engels betekent ‘merkwaardig’ maar ook ‘oneven’. Beide vertalingen zijn van toepassing. Een getal dat minstens één nul achteraan heeft is immers altijd even. Maar toen de beurzen enkel door industriëlen en gegoede burgers werden bevolkt was een niet afgerond aantal aandelen ook dermate merkwaardig dat het als gepruts van een niet ingewijde werd aanzien en door brokers dikwijls ook gewoon werd geweigerd.

Percent Risk Model

In dit model focust men zich niet op wat je investeert maar wel op wat je riskeert. Een subtiel verschil en terecht zou men kunnen argumenteren dat bij beleggen alles wat je investeert ook volledig blootgesteld is aan risico. We illustreren de berekeningen opnieuw met een portefeuille van 100000. Parameters in dit systeem zijn de fractie van het kapitaal dat een belegger bereid is te verliezen en de het risico dat men wil nemen per aandeel. Stellen we een fractie van 0.01 (of 1%) van onze 100000 bloot aan risico bij elke positie dan betekent dit dat we maximaal 1000 willen verliezen vooraleer we een positie afsluiten. Dit hoeft evenwel niet neer te komen op een zogeheten ‘dollar stop’ of ‘equity stop’ – toegegeven zowat de slechtst denkbare stop die men kan hebben. Als we immers de prijs per aandeel kennen en een technisch verantwoorde plaats kunnen vinden voor een stop, dan gaat de redenering als volgt verder. Het risico dat we willen lopen, 1% van de portefeuille of 1000 in dit geval, delen we door het risico per aandeel. Stel dat het aandeel in kwestie 41 noteert en we een technisch verantwoorde stop kunnen plaatsen op 38,75 dan hebben lopen we een risico van 41-38,75 of 2,25 per aandeel. Als ons totaal risico 1000 mag bedragen en het risico per aandeel 2,25 dan betekent dit dat we 1000/2,25 of 444 aandelen mogen aanschaffen. Opnieuw kunnen we, indien gewenst, dit ‘odd lot’ afronden naar 440, 450 of zelfs 400 aandelen.

Percent Volatility Model

Net zoals we onze positiegrootte kunnen afstemmen op het risico dat we willen dragen kunnen we ons focussen op de volatiliteit die we in onze portefeuille willen zien. Dit systeem stelt voorop hoeveel een positie mag bijdragen aan de volatiliteit van de ganse portefeuille. Op die manier kunnen we alle posities balanceren naar een gelijke volatiliteit, ongeacht de volatiliteit van de onderliggende waarde (of aandeel) van die positie. Volatiliteit kan worden uitgedrukt op verschillende manieren. Zo kan, bijvoorbeeld, een lopend gemiddelde van het dagelijks koersbereik (hoogste min laagste koers) worden genomen (of de standaarddeviatie daarvan). Een klassieke maat voor de volatiliteit is de Average True Range of ATR. Dit is een lopend gemiddelde van de True Range, op zijn beurt gegeven als het verschil tussen hoogste en laagste koers maar gecorrigeerd voor sprongen bij de opening (gaps). Kort komt het hier op neer dat, als er een gap plaatsvindt bij de opening, die ook bij het dagelijks bereik voor die dag wordt geteld. We gaan hier niet dieper op in en nemen als voorbeeld van een maat voor de volatiliteit voor deze tekst de ATR(20), het lopend eenvoudig gemiddelde van het voor gaps gecorrigeerde koersbereik over de voorbije 20 dagen. We nemen opnieuw ons voorbeeld ter hand.

Een portefeuille van 100000, het aandeel staat 41 en de ATR over 20 dagen is, om maar iets te zeggen, 3,17. We wensen al onze posities een gelijke volatiliteit te geven ter waarde van 1,5% van de portefeuillewaarde. Dit brengt ons op een volatiliteit van 1500 die we voor elke positie maximaal wensen te ervaren. Als we weten dat het aandeel gemiddeld 3,17 beweegt op een dag, dan mogen we dus 1500/3,17 of 473 aandelen aanschaffen. Hebben we een ander aandeel met een volatiliteit van 0,67 dan mogen voor die positie 1500/0.67 of 2238 stuks aanschaffen. Opnieuw kunnen de ‘odd lots’ worden afgerond naar tien- of honderdtallen. Dergelijk aanpak resulteert in het nivelleren van posities en draagt bij aan een rustiger verloop van de waarde van portefeuille. Als je al een gegeven aantal posities in een portefeuille hebt of weet welke de verschillende aandelen zijn die je in een nieuwe portefeuille wil opnemen, dan kun je meteen ook de vraag stellen of we niet de posities onderling een gelijke volatiliteit kunnen toekennen. Dit kan. Stel dat we een portefeuille met waarde K over drie aandelen met prijzen pA, pB en pC willen verdelen zodanig dat de posities geëgaliseerd zijn naar volatiliteit (vA, vB en vC) dan krijg je een stelsel van 3 vergelijkingen met drie onbekenden (de aantallen nA, nB en nC):

tka200906_2

Voor elk willekeurig aantal posities krijg je altijd evenveel vergelijkingen als onbekenden.

Optimal f

Deze methode werd door Ralph Vince, een autoriteit in dit gebied, beschreven in zijn boeken, die toch wel beschouwd mogen worden als enkele standaardwerken rond het onderwerp van position sizing. ‘Optimal f’ is de optimale fractie die men van z’n kapitaal moet inzetten voor een gegeven handelssysteem om op lange termijn rendement te maximaliseren. De berekeningen daartoe hier aanhalen zou ons te ver brengen. Maar als we even terugkeren naar ons muntstukje uit de inleiding dan is de ‘optimal f’ daar 0,25. Zet je dus telkens 25% van je kapitaal in voor het systeem waarbij je elke euro verdubbelt bij een kop maar verliest bij een munt, dan haal je daar het hoogst mogelijke rendement mee. Investeer je minder, dan heb je minder rendement na verloop van tijd. Klinkt logisch. Maar ook als je meer dan 25% inzet heb je met datzelfde systeem minder rendement op termijn. Bij een winstgevend systeem is het dus niet zo dat meer inzetten onbeperkt leidt tot meer winst op termijn. Het verloop van het rendement in functie van de fractie die je telkens investeert voor het muntstuk experimentje kun je zien in figuur 1. Voor wat hoort natuurlijk wat en dit systeem wordt getekend door bijzonder grote tussentijdse terugvallen van je kapitaal. Een ander nadeel is dat de optimale fractie enkel maar kan berekend worden aan de hand van je handelshistoriek en dus niet noodzakelijk nog de optimale fractie is voor wat in de toekomst volgt.

Conclusie en nabeschouwingen

We toonden aan dat een objectieve en gestructureerde position sizing onontbeerlijk is bij het beleggen en dat hierover heel wat meer aan strategie en modelering kan worden verteld dan een modale belegger, die vaak arbitrair z’n aantal aandelen bepaalt, zou kunnen vermoeden. We hopen dat het lezen ervan beleggers er toe aanzet hier meer aandacht aan te besteden.

Ook al hebben we de modellen geïllustreerd met vaste parameters, niets hoeft echter ooit vast te zijn. Zo kun je in het fixed unit model bij een kleine portefeuille gaan delen door 1000 maar als die portefeuille groter wordt dit deeltal optrekken naar 2000, 5000, 10000, … Zo zal ook in het ‘optimal f’ model de optimale fractie in de loop van de tijd herberekend worden.

We hielden, zoals gezegd, geen rekening met margin. We gingen er dus telkens van uit dat je niet meer kon kopen dan de cashwaarde van je portefeuille toeliet.

Er is een verschil tussen wat een wiskundig model genereert, in dit geval het aantal aandelen voor een positie, en de invulling ervan in een complexe context zoals de beurs. Zo kan een strategie mogelijks een aantal aandelen voorstellen dat:

  1. onrealistisch hoge kosten met zich meebrengt (bij een kleine investering waardoor je kosten procentueel te hoog zijn)
  2. een aantal aandelen aanreikt dat een zeer hoge investering van je port vraagt
  3. zelfs een aantal aandelen oplevert dat meer kost dan je aan cash hebt
  4. een zeer hoge absolute volatiliteit impliceert (ongeacht de procentuele volatiliteit)

Elk systeem heeft met andere woorden zijn eigen specifiek nadelen. Niets verbiedt ons echter om regels van de verschillende systemen te combineren. Zo kun je met de verschillende systemen de positiegrootte bepalen en het laagste aantal nemen (of een gemiddelde of noem maar op). Je kunt ook zelf nieuwe regels introduceren. Zo zou je een initieel plafond kunnen opleggen aan elke positie (maximaal percentage van de totale portefeuille waarde). Of een regel die zegt dat kosten maximaal 1%, om maar een percentage te noemen, van de positie mogen bedragen (of van de portefeuille).

tka200906_3

Laatste aanpassing: 06/06/2008